Hay dos interpretaciones diferentes para esta pregunta, dependiendo de cómo interprete exactamente los cuantificadores. Contestaré a ambos.
En ambos casos, dejemos que r (S) sea el menor número de veces que necesitamos repetir la secuencia S para obtener identidad, es decir, si comenzamos desde un cubo resuelto, después de las repeticiones r (S) de S tendremos el Cubo resuelto de nuevo.
Preliminar: El número r (S) siempre existe. Esto se debe a que S define una permutación en las 48 caras unitarias del cubo, y r (S) es el mínimo común múltiplo de las longitudes de ciclo de dicha permutación.
La primera interpretación: ¿Cuál es el máximo de r (S) sobre todo S?
En otras palabras, dada una secuencia de movimientos, ¿cuál es el mayor número de repeticiones que podemos ver obligados a hacer antes de volver al punto de partida?
- Considérelo como una cuadrícula N * M. ¿Puedes encontrar una fórmula para encontrar el número de cuadrados?
- ¿Cuáles fueron los factores que contribuyeron al tremendo éxito del cubo de Rubik en el mercado?
- Hay un montón de 12 monedas, todas de igual tamaño, pero solo 11 tienen el mismo peso. ¿Puedes encontrar la moneda desigual y determinar si es más pesada o más ligera, en 3 pesadas?
- Si estás en la superficie de la Tierra y caminas una milla al sur, una milla al oeste y una milla al norte, ¿dónde terminarás?
- ¿Por qué solo hay un punto (el Polo Norte) en el hemisferio norte, como respuesta a esta pregunta: ‘Estás parado en la superficie de la Tierra. Caminas una milla al sur, una milla al oeste y una milla al norte. Terminas exactamente donde empezaste. ¿Dónde estás?’
El orden más grande de una permutación válida en el grupo de cubos de Rubik es 1260. Un ejemplo de tal permutación, en notación de rotación de caras, es [matemática] RU ^ 2D ^ {- 1} BD ^ {- 1} [/ matemática]. Ver, por ejemplo, http://wdjoyner.com/writing/rubi…
La segunda interpretación: ¿Cuál es el mínimo común múltiplo de todos los r (S)?
En otras palabras, ¿cuál es la r más pequeña de tal manera que repetir absolutamente cualquier secuencia de movimientos r veces produce identidad?
Aquí, la respuesta no es 1260. Por ejemplo, [matemática] r (DUL ^ 2) = 8 [/ matemática], y como 8 no divide 1260, repetir esta secuencia exactamente 1260 veces no le devuelve el cubo resuelto.
Busquemos un límite inferior. La secuencia [matemática] UBFBUDLU ^ {- 1} R ^ {- 1} L [/ matemática] tiene una duración de período 44, por lo que la respuesta que buscamos debe ser un múltiplo de 11. La secuencia [matemática] LRUR ^ 2FRLF [/ matemática ] tiene una duración de período 48, por lo que la respuesta debe ser un múltiplo de [matemáticas] 2 ^ 4 = 16 [/ matemáticas].
Por lo tanto, el MCM de todos los r (S) es al menos [matemática] 2 ^ 4 \ cdot 3 ^ 2 \ cdot 5 \ cdot 7 \ cdot 11 = 55,440 [/ matemática].
Las personas inteligentes con más tiempo en sus manos ya hicieron un análisis completo de todos los períodos posibles. Por ejemplo, consulte http://www.jaapsch.net/puzzles/c… para obtener una tabla de todos los valores posibles de r (S), calculada por Gerved y Bisgaard. El MCM de todos esos valores es de hecho 55,440.
Un dato divertido adicional: si elige una permutación aleatoria válida del cubo, el número esperado de repeticiones necesarias para llegar a la identidad es casi, pero no exactamente, igual a 122. Por otro lado, la duración del período más frecuente (modus) es solo 60.